有趣的國中數學思考問題之3

勝 卷 在 握

A、B兩人輪流從150根火柴棒中取走1根或質數根火柴。

Ａ先取，如果取最後一根的人為勝，

則請問Ａ、Ｂ誰能穩操勝卷？

勝 卷 在 握 分 析

只要剩下的火柴棒數目是4的倍數，則後取者贏！

例如：
（1）剩4根火柴棒，則先取者無論取1、2或3根，後取者都必勝

（2）剩8根火柴棒，則先取者取1、3、5、7根，後取者都必勝

○○若先取者取2根，則後取者也取2根，讓數目剩下4根

因此150根火柴棒若由A先取，則取2根使其數目剩下148根（4的倍數）

，接著不論B怎麼取，A就取和B能湊成4的倍數的火柴數

（例如：B取5根，A就取3根或11根等等），如此剩下的火柴棒數目

就會一直是4的倍數，則A必穩操勝卷。

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阿貝爾恆等式

試證明此阿貝爾恆等式：

阿貝爾恆等式證明

觀察n=3時的特例：

顯然此阿貝爾恆等式只是同一面積的不同分割算法！

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孤獨的八

在下列空格中填入適當數字，完成這道除法。

.

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開 關 門 遊 戲
這兒有1000位學生與1000扇關著的門，皆從1編號至1000。今1號學生將所有的門打開，接

著2號學生把編號2的倍數的門再關起來，3號學生再把編號3的倍數的門作相反的動作（開

著的關上、關著的打開），依此類推，直到1000號學生做完。請問最後哪幾號門是打開的

？

開關門遊戲解答

（1）經觀察得知

　　 某扇門最後是開或關，決定於它的編號之正因數個數！

　　 如36號門，其正因數有1,2,3,4,6,9,12,18,36

　　 共九個（奇數個），則是開的

　　 （1號學生打開、2號生關上、3號生打開、4號生關上、

　　 6號生打開、9號生關上、12號生打開、18號生關上、

　　 36號生打開）

　　 又如30號門，其正因數有1,2,3,5,6,10,15,30

　　 共八個（偶數個），則是關的

　　 ∴要知道最後哪些門是開的，則必須求出哪些號碼的正因數

　　 個數為奇數

(5) 1∼1000中，完全平方數有

　　 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256

　　 ,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676,729,784,

　　 841,900,961共31個

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老黃鋪磚延伸題

　　右圖是一個 8×8 的正方格，
今欲以 1×3 的長方格來鋪滿它 ，
由於 64﹦3×21＋1，所以最多應
可以鋪上 21 塊長方格，而剩下一格
。請問：

(1)可以鋪上21塊長方格嗎？

(2)如果可以，那剩下的一格會在
哪些位置？試說明原因

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易錯問題

2.某街道長24公尺，兩旁分別種植相思樹和大王椰子。已知相思樹兩兩相隔4公尺，大王椰

子兩兩相隔6公尺，問此街 道上共有多少棵樹？

3.某農婦有雞蛋60個，賣價每元三個，鄰人有鴨蛋60個託其代賣，賣價每元二個，為方便

起見，該農婦可否按每二元五個之價格賣出？

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先抽，中獎機率比較高嗎？

在遇到抽籤或摸彩的時候，參加抽籤的人都希望能夠成功。在這種期望下，常會引起一個

疑問，是先抽好呢？還是後抽好？一般人總覺得先抽要比後抽的成功機率高一些，這種想

法到底正確與否？

例如：五個籤，其中僅一個有彩，每次抽出一籤不再放入。

(1)第一個人抽中的機率為 1/5

(2)第二個人想要抽中，必須要在第一個人摃龜的情況下，才有可能發生

第一個人摃龜的機率為 4/5

第二個人在剩餘的四籤中抽中的機率為 1/4

所以第二個人成功的機率為 4/5 ×1/4 = 1/5

(3)同理，第三個人必須在第一與第二個人皆摃龜之下才可能抽中，

所以成功的機率為 4/5 ×3/4 ×1/3 = 1/5

依此類推

第四個人抽中的機率為 4/5 ×3/4 ×2/3 ×1/2 = 1/5

第五個人抽中的機率為 4/5 ×3/4 ×2/3 ×1/2 ×1/1 = 1/5?

我們發現：

抽籤時，每次抽一籤不再放入的情況下，各人成功的機率是相等的！

與抽籤的次序無關！?

在上例中，每次抽出一籤，不中仍舊放入，再讓後面的人抽，那麼情形會怎樣呢？

第一個人抽中的機率仍為 1/5

第二個人抽中的機率為 4/5 ×1/5 = 4/25

第三個人抽中的機率為 4/5 ×4/5 ×1/5 = 16/125

第四個人抽中的機率為 4/5 ×4/5 ×4/5 ×1/5 = 64/625

第五個人抽中的機率為 4/5 ×4/5 ×4/5 ×4/5 ×1/5 = 256/3125

我們發現各人成功的機率是不同的，先抽的人成功的機率較大！

一般的抽籤大都屬於第一種情況，所以先抽後抽都一樣公平！

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不知輕重 ?

13個金幣中有一枚是假幣，但不知較輕或較重，在不用砝碼

的情況下，至少需用天平秤幾次才能得知何者為假幣？

不知輕重解答

13個金幣時，分成A(A1∼A4)、B(B 1∼B 4)、C(C 1∼C 5)三組，比較A、B：

1.若A＝B時，比較(C 1、C 2)與(A1、C 3)：

　(1)若(C1+C2)＝(A1+C3)，則假幣必為C4或C5，比較C4、A1：
　　 a.若C4≠A1 →C4 　　b.若C4＝A1 →C5

　(2)若(C1+C2)＞(A1+C3)，則假幣必為C1或C2或C3，比較C1、C2：

　　a.若C1＞C2 →C1 　　b.若C1＜C2 →C2 c.若C1＝C2 →C3

　(3)若(C1+C2)＜(A1+C3)，則假幣必為C1或C2或C3，比較C1、C2：

　　a.若C1＞C2 →C2 　　b.若C1＜C2 →C1 　c.若C1＝C2 →C3

2.若A＞B，則比較(A1、A2、B1)與(A3、A4、B2)：

　(1)若(A1+A2+B1)＝(A3+A4+B2)，則假幣必為B3或B4，比較B3、B4：

　　a.若B3＞B4 →B4 　b.若B3＜B4 →B3

　(2)若(A1+A2+B1)＞(A3+A4+B2)，則假幣必為A1或A2或B2，比較A1、A2：

　　a.若A1＞A2 →A1 　b.若A1＜A2 →A2 　c.若A1＝A2 →B2

　(3)若(A1+A2+B1)＜(A3+A4+B2)，則假幣必為A3或A4或B1，比較A3、A4：

　　a.若A3＞A4 →A3 　b.若A3＜A4 →A4 　c.若A3＝A4 →B1

3.若A＜B，仿 2.A＞B 兩次OK！

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直 尺 作 圖（一）(不可用圓規)?

1.已知：一半圓與半圓外一點Ｐ　　　

　求作：只用直尺過Ｐ作ＡＢ的垂線

2.已知：一半圓與半圓內一點Ｐ

　求作：只用直尺過Ｐ作ＡＢ的垂線

3.已知：一圓與圓上一點Ｐ，ＡＢ為直徑

　求作：只用直尺過Ｐ作ＡＢ的垂線

直尺作圖（一）之作法 　

　1.作法：

　（1）連ＡＰ、ＢＰ分別交半圓於Ｃ、Ｄ　

　（2）連ＢＣ、ＡＤ設相交於Ｅ

　（3）連ＰＥ交ＡＢ於Ｆ，則ＰＦ即為所求

　2.作法：

　（1）連ＡＰ、ＢＰ分別交半圓於Ｃ、Ｄ

　（2）連ＢＣ、ＡＤ設相交於Ｅ

　（3）連ＥＰ交ＡＢ於Ｆ，則ＰＦ即為所求

　3.作法：

　（1）在上半圓上任取一點Ｑ（異於Ρ、Ａ、Ｂ）

　（2）連ＡＰ、ＢＱ設相交於Ｃ

　　　連ＢΡ、ＡＱ設相交於Ｄ

　（3）連ＣＤ交ＡＢ於Ｅ，連ＱＥ交圓於Ｆ

　（4）連ΡＦ，則ＰＦ即為所求

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積 的 化 簡

?

　　　　　求

積的化簡解答

?

無限根號?

無限根號解答

《解一》：倒推回去觀察，發現

所以猜測其為: 對於每個自然數n

證明：
（1）當n＝1、2、3時均成立
（2）設n=k（k>3）時成立，即

所以n＝k+1時亦成立，故由數學歸納法得證，因此

《解二》：對於每個自然數n

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無限房間之太空旅館?

まま某天下午，所有銀河都派來宇宙動物學家，因此有無限多位，統統住進這間無限太空

旅館，每人住一間而將旅館住滿。沒想到晚上，一群無限多位的宇宙植物學家也要住進這

家旅館，請問這間太空旅館的老闆怎麼辦？

無限房間之太空旅館解答

叫1號房客搬去2號房；2號房客搬去4號房；3號房客搬去6號房， 依此類推，叫n號房客搬

去2n號房，如此可空出奇數號房(有無限多間) 來讓無限多位植物學家住進去！

難 題

美國一位著名的畫家威爾斯特有一幅名畫，畫名就叫「難題」。在畫面上畫著一塊黑板，

上面有一道算題：

畫家在這幅畫中還畫有一個鏡框，內中放著一個半身人像，畫家畫這幅畫是為了讚揚這像

中之人-----科學家與教育家沙爾哈斯，讚揚他出色的教學法的。 沙爾哈斯是美國的一位教

授，但是他情願放棄教授的職位，而到農村為兒童做啟蒙工作-----小學數學教師。沙爾哈

斯知道數學 常常使很多兒童頭痛，於是他利用數的一些特性，教給孩子們許多速算的方

法，上面那畫中的難題就是他出的。請問聰明的各位，當你看到這個題目時，能馬上將答

案脫口而出嗎？

難題解答

觀察得知：

一般公式: 左邊第一個數字是n(2n+1),其中n為右式的項數

一般公式的推導：

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無窮級數求和?

1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 +.....+...＝？

無窮級數求和解答?

令 S ＝ 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 +.....

S/2 ＝ 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 +.....

S/2 ＝ (1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + (1/4-1/5) +.....

S/2 ＝ 1 ま ま ∴まS ＝2