有趣的國中數學教材與題目之二

面 積 魔 術

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正多面體與其展開圖

一、正四面體

二、正六面體

三、正八面體

四、正十二面體

五、正二十面體

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等腰三角形

一等腰三角形周長為33公分，其中一腰上的中線把這個三角形的
周長分為12及21公分兩部份，則此等腰三角形的底邊長為幾公分?

等腰三角形解答

（1）若x＞yまま
まま則 x = 14、y = 5

（2）若x＜yまま
まま則 x = 8、y = 17

（不合 ∵ 8＋8＜17，三角形兩邊和大於第三邊）

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平行與四邊形之補充資料

一、平行四邊形：
1.定義：有兩雙平行邊的四邊形稱為平行四邊形

2.性質：
(1)任一對角線必將此平行四邊形分成兩個全等三角形
(2)兩雙對邊分別相等
(3)兩雙對角分別相等
(4)對角線互相平分

3.判別性質：
(1)一雙對邊平行且相等的四邊形必為平行四邊形
(2)兩條對角線互相平分的四邊形必為平行四邊形

二、兩邊中點連線
1.三角形兩邊中點連線必平行第三邊，且為第三邊的一半(證明於下)
2.平行四邊形兩對邊中點連線必與另兩對邊平行且相等
3.梯形兩腰中點連線(中線)與上、下底平行且為上、下兩底和的一半
ま(證明於下)
ま
三、對角線之比較
1.平行四邊形對角線互相平分
2.長方形對角線互相平分且相等
3.菱形對角線互相平分且垂直
4.正方形對角線互相平分且垂直相等
5.等腰梯形對角線相等

已知：AD=BD ，AE=CE
求證：DE//BC 且 BC=2DE
證明：(1)過C作AB平行線交DE延長線於F
ままま(2)在△ADE與△CFE中
まままま ∵∠A=∠1 ,AE=CE ,∠2=∠3
まま まま∴△ADE全等於△CFE(ASA)
まままま 故CF=AD=BD DE=EF
ままま(3)∵ CF=BD まCF// BD ま
まままま ∴ BCFD為平行四邊形
まま まま故DE//BC 且 BC=DF=2DE

已知：AD//BC AE=BE DF=CF
求證：EF//BC//AD 且 (AD+BC)=2EF
證明：(1)連接DE交BC延長線於G
ままま(2)∵△ADE全等於△BGE(ASA或AAS皆可)
まままま ∴ AD=BG DE=EG
ままま(3)在△DGC中 ∵ DE=EG DF=CF
まままま ∴ EF//BC//AD 且 GC=2EF
まままま 又 GC=GB+BC=AD+BC 故 AD+BC=2EF

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面積轉換-1

面積轉換-2

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相似三角形之面積證法

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兩圓位置與公切線數

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面積比例問題?

如右圖，已知 AD=CD，AE=2BE，則△PBC：△ABC=？

面積比例問題解答

連接AP交BC於F
∵ AD：CD= 1：1
∴ △APD = △CPD 且 △ABD = △CBD
故△PBA = △ABD－△APD = △CBD－△CPD =△PBC
∵ AE：BE=2：1
∴ △APE：△BPE = 2：1 且 △ACE：△BCE = 2：1
故△PAC = △ACE－△APE = 2△BCE－2△BPE = 2(△BCE－△BPE ) = 2△PBC
設△BPE = a 　則△APE = 2a　△PBC = 3a　 △PAC = 6a
故△PBC：△ABC = 3a：(a+2a+3a+6a) = 3a：12a = 1：4

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Fibonacci數列

1202年，義大利數學家斐波那契出版了他的「算盤全書」。
他在書中提出了一個關於兔子繁殖的問題：
如果一對兔子每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔
在牠出生後的第三個月裡，又能開始生一對小兔，假定在
不發生死亡的情況下，由一對出生的小兔開始，50個月後會有
多少對兔子？

在第一個月時，只有一對小兔子，過了一個月，那對兔子成熟
了，在第三個月時便生下一對小兔子，這時有兩對兔子。再過
多一個月，成熟的兔子再生一對小兔子，而另一對小兔子長大
，有三對小兔子。如此推算下去，我們便發現一個規律：

?

?

?

?

?

?

?

?

由此可知，從第一個月開始以後每個月的兔子總數是:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…

若把上述數列繼續寫下去，得到的數列便稱為斐波那契數列。
數列中每個數便是前兩個數之和，而數列的最初兩個數都是1。
若設 F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13...
則：當n＞1時，Fn+2 = Fn+1 + Fn，而 F0=F1=1。
下面是一個古怪的式子：

Fn 看似是無理數，但當 n ≧0 時，Fn 都是整數　　

利用斐波那契數列來做出一個新的數列：
方法是把數列中相鄰的數字相除，以組成新的數列如下：

當 n 無限大時，數列的極限是：

這個數值稱為黃金分割比，它正好是方程式 x2+x-1=0 的一個根