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國高中數學公式總整理
乘法公式
1. (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
2. (a ± b)2
= a2 ± 2ab + b2
3. (a+b)(a-b) = a2 - b2
4. (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2
+ 2ab + 2bc + 2ca
補充舊教材：
6. (a + b)3
= a3 +
7. (a - b)3
= a3 -
8. a3+b3
= (a+b)(a2-ab+b2)
9. a3 - b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
三角函數
一、定義：設θ是一個任意大小的角, 角α的終邊上任意一點P的坐標是（x,y）, 它與原點的距離是r
(r>0）, 那麼角θ的六個三角函數定義如下：
1.正弦(sine) ：sinθ=y/r=對邊／斜邊
2.餘弦(cosine) ：cosθ=x/r=鄰邊／斜邊
3.正切(tangent) ：tanθ=y/x=對邊／鄰邊
4.餘切(cotangent) ：cotθ=x/y=鄰邊／對邊
5.正割(secant) ：secθ=r/x=斜邊／鄰邊
6.餘割(cosecant) ：cscθ=r/y=斜邊／對邊
二、三角函數關係式
1.倒數關係式： sinθ*cscθ=1； cosθ*secθ=1； tanθ*cotθ=1
2.商數關係式： tanθ＝sinθ／cosθ； cotθ＝cosθ／sinθ
3.平方和數關係式：sin2θ+cos2θ=1； 1+tan2θ=sec2θ； 1+cot2θ=csc2θ
4.餘角關係式： sinθ=cos(90-θ)；cosθ=sin(90-θ)；
tanθ=cot(90-θ)；cotθ=tan(90-θ)；
secθ=csc(90-θ)；cscθ=ses(90-θ)；
5.和角公式：
5.倍角公式： sin2θ = 2sinθcosθ
cos2θ = cos2θ − sin2θ =
6. 3倍角公式： cos3θ =
sin3θ = − 4sin3θ + 3sinθ
7.半角公式：
8.積化和差：
9.和差化積：
10.萬能公式：
11. 平方差公式： sin(α +
β) * sin(α − β) = sin2α − sin2β
cos(α + β) * cos(α − β) = cos2α − sin2β
12.降次升冪公式：
13.輔助角公式：
三、三角函數初等定理
1.正弦定理：
若a,b,c為任意三角形的三邊，A,B,C分別為a,b,c的對角，R為此三角形的外接圓半徑，
則存有以下關係式：
2.餘弦定理：
若a,b,c為任意三角形的三邊，且C為邊c的對角，則存在以下關係式：
（若a,b,c為三角形的三邊，A,B為a,b的對角，則：c = acosB + bcosA）
體積
1.立方體=邊長3
2.長方體=長*寬*高
3.柱體 = 底面積*柱高
4.錐體 = 底面積*柱高/3
5.球體體積 = 
6.球體面積 = 
平行
1.單角的名稱：(1)直角=90° (2)平角=180° (3)90°＞銳角＞0° (4)180°＞鈍角＞90°
2.兩角的關係：(1)互補：兩個角的度數和是180°，則此兩角叫互為補角，簡稱兩角互補。
ex：∠A的補角=180°－∠A
(2)互餘：兩個角度數和為90°，則此兩角叫互為餘角，簡稱兩角互餘
ex：∠A的餘角=90°－∠A
3.平行線性質：若兩平行線被一直線所截，則：同位角相等，內錯角相等，同側內角互補
逆性質：兩直線被一直線所截，若同位角相等(內錯角相等或同側內角互補)，則兩直線平行
4.
若L//M，則∠2=∠1+∠3
若L//M，則∠1+∠2+∠3=360°
5.平行線公式：
若L//M，則∠1+∠3+∠5=∠2+∠4 ∠1+∠2+∠3+.....+∠n=(n-1)*180
n邊形
1.內角和 = (n-2)*180 度
2.外角和 = 360 度
3.正n邊形每一內角 = (n-2)*180/n 度 = 180 - 360/n
4.正n邊形每一外角 = 360/n 度
5.對角線數 = n*(n-3)/2
三角形
1.△內角和定理：△內角和=180度
2.△外角和定理：外角和=360度
3.△外角定理：△外角=內對角和
4.畢氏定理：直角△兩股平方和=斜邊的平方
逆性質：若△兩股平方和=斜邊的平方，則為直角△
若直角△兩股及斜邊長度分別為 a,b,c
則 c2 = a2+
b2 => 
a2 = c2
- b2 =>
5.直角△斜邊上的高 = 兩股積/斜邊
6.△中點連線性質：△兩邊中點連線平行第三邊，且等於第三邊的一半
逆性質：過△一邊中點平行另一邊的直線，必過第三邊中點
7.△外心：△外接圓圓心到三頂點等距離，為三邊中垂線交點
直角△外心在斜邊中點；銳角△外心在圓內；鈍角△外心在鈍角對邊外
7.1.外心角：若O為△ABC之外心，則∠BOC = 2∠A(∠A<90°) or 360-2∠A(∠A>90°)
8.△內心：△內切圓圓心到三邊等距離，為三角平分線交點
9.△重心：△三中線交點，重心到頂點距離為到對邊中點距離的兩倍
三中線平分△為６個等面積的△
△ABG=△BCG=△CAG=
10.同一△中，大邊對大角；小邊對小角。大角對大邊；小角對小邊。
11.樞紐定理：兩個△若有兩邊相等，兩邊的夾角較大的△，對應的第三邊較長
逆定理：兩個△若有兩邊相等，第三邊較長的△，兩邊的夾角較大
12.△任兩邊差 < 第三邊 < △任兩邊和
13.平行線截比例線段
14.△全等性質：SSS,ASA,SAS,AAS,RHS；兩個例外：AAA相似，SSA兩種情形
15.△相似性質：AAA相似，AA相似，SAS相似
16.等腰△性質：等腰△頂角平分線垂直平分底邊，且兩底角相等；其逆亦真。
17.中點性質
(1)、一邊中點：過△一邊中點且平行另一邊之直線，必過第三邊中點。
(2)、二邊中點：△兩邊中點連線必平行第三邊且長為第三邊之半。
(3)、三邊中點：△三邊中點連線，分原形為四全等三角形，五相似三角形；
周長為原三角形之半、面積為原三角形之1/4。
(4)、四邊中點：四邊中點連線，連成平行四邊形，
新四邊形周長為原四邊形對角線之和，面積為原四邊形1/2。
(5)、直角△斜邊中點：斜邊中點，至三頂點等距離( R )。
18.特殊直角△三邊長： ( 3
: 4 : 5 ) , ( 6, 8,10) , ( 9,12,15) , (12,16,20) ,
(15,20,25)....
( 5 : 12 : 13 ) ,
(10,24,26)...
( 7 : 24 : 25 )...
( 8 : 15 : 17 )...
( 9
: 40 : 41 )....
19.三角板三邊長：
20.△外接圓半徑R：
數系（number system）
壹、複數(Complex Number)：
一、實數(Real Number)：
１、有理數（Rational Number）：
凡是能寫成兩個整數相除的數稱為「有理數」，其中除數不為零
(1)、整數(德文Zahlen；英文the integers)：
a、正整數：又稱自然數（Natural Numbers）Ｎ= {1,2,3,...}
b、負整數
c、零
(2)、分數
a、有限小數
b、無限小數
(a)、循環的無限小數（簡稱循環小數）
(b)、
２、無理數(Irrational Number)：不循環的無限小數
(1)、代數數：所謂的代數數，即是滿足整係數多項式方程式的解；
如
滿足x2-2=0，
滿足x4-5=0， 與 都是代數數。
(2)、超越數：圓週率π(=3.141592.......)與自然對數的基底e(=2.71828......)
二、虛數：
貳、超複數：一、四元數
二、八元數
三、十六元數
四、三十二元數
等差數列
若等差數列首項 a1，公差d，第m項 am，第n項 an，n項和 Sn， 則
若等比數列首項 a1，公比r，第m項 am，第n項 an，n項和 Sn
則，
(3). 若 a,b,c 成等比數列，則等比中項 b２ = ac =>
指數律
整數的指數律： 設a、b Î R , m、n Î Z , 則
1. am×an＝am＋n
2. am÷an＝am－n
3. （am）n＝am×n
4.（a×b）m＝am×bm.
5. 
6. 零指數： a 0 = 1
, 其中a Î R , a ¹ 0
7. 負指數：
, 其中a Î R , a ¹ 0
8.分數指數(高中課程)：
圓形
1.圓面積 = 
2.圓周長 = 2 π r
3.扇形面積 = * 圓心角/360
4.弧長 = 2 π r * 圓心角/360
5.點與圓的位置關係：a.圓外：點與圓心距離>半徑
b.圓上：點與圓心距離=半徑
c.圓內：點與圓心距離<半徑
6.直線與圓的關係：a.不相交 ：直線與圓心距離>半徑
b.交於一點：直線與圓心距離=半徑；切線
c.交於兩點：直線與圓心距離<半徑；割線
7.圓與圓的位關係：a.外 離：（4條公切線）圓心距>半徑和
b.外 切：（3條公切線）圓心距=半徑和
c.交於兩點：（2條公切線）半徑差<圓心距<半徑和
d.內 切：（1條公切線）圓心距=半徑差
e.內 離：（0條公切線）圓心距<半徑差
b.重 合：（∞ 公切線）圓心距=0且半徑相等
08.若圓O1、圓O2半徑為r1、r2，則
外公切線長=
內公切線長=
09.圓心角 = 夾弧的度數
10.圓周角 = 夾弧的度數的一半 半圓所對的圓周角=90度
11.圓內角 = 夾弧的度數和的一半
12.圓外角 = 夾弧的度數差的一 半
13.弦切角 = 夾弧的度數的一半
14.圓內接四邊形對角互補
15.外冪性質：若圓的兩弦
、
相交於圓外一點P，則
16.內冪性質：若圓的兩弦 、 相交於圓內一點P，則
17.切割線性質：
切圓O於 A，
為割線且交圓於C， 則
18.切線定義：在同一平面上，與一圓恰相交於一點的直線，稱為此圓的切線
19.切線的性質：圓心到切點連線，垂直此切線
20.切線的判別性質：過一圓直徑端點，且垂直此直徑的直線，為此圓的切線
21.切線段等長性質：圓外一點到圓兩切線段長相等
22.圓外切四邊形，對邊和相等
23.圓內接四邊形，對角互補
24.圓外切△，切線段長 = (△鄰邊和 - △對邊)/2
25.直角△內切圓半徑
= (兩股和 - 斜邊)/2
26.直角△外接圓半徑
= 斜邊/2
相似形
1.相似形性質：對應角相等，對應邊成比例
2.相似形之對應邊比=對應高比=對應中線比=對應分角線比=周長比=面積開平方比
3.相似形之面積比=對應邊平方比=對應高平方比=對應中線平方比=對應分角線平方比=周長平方比
4.相似形之體積比=對應邊立方比
5.D相似性質：AA相似，AAA相似，SAS相似，SSS相似
6.平行線截比例線段：
7.
8.
9.直角D 母子相似性質：
10.D 面積比：
(1).兩D 面積比=底*高的比
(2).兩D 等底同高或同底等高，則面積相等
(3).兩等底D 面積比=對應高的比
(4).兩等高D 面積比=對應底的比
(5).有一等角兩D 面積比=其夾角兩邊乘績的比(補充)
D ABC : D ADE = AB*AC : AD*AE